Последняя теорема - читать онлайн книгу. Автор: Артур Кларк, Фредерик Пол cтр.№ 60

Зная об этом, их родители с легким сердцем отправятся в бой.

Все девять миллиардов обитателей Земли занимались своими будничными делами, и никто не догадывался о том, что его собственные отпрыски смогут дожить только до первых признаков половой зрелости, а потом будут стерты с лица земли.

Но свой следующий семинар Ранджит начал не с проблемы Гольдбаха. Майра сделала ему важное предложение, а Ранджит привык прислушиваться к советам жены.

В первый день занятий он явился в аудиторию и посвятил почти час организационным делам — ответил на вопросы о том, каким образом будет оценивать успеваемость студентов, объявил, в какие дни занятия будут отменены по тем или иным причинам, познакомился с некоторыми учащимися. Затем спросил:

— Как вы определите простое число?

Почти все студенты подняли руки. Некоторые, не дожидаясь, пока их спросят, выкрикивали свои версии. Но почти все они крутились вокруг одного определения: простое число — это такое число, которое делится без остатка только на единицу и само на себя.

Начало получилось многообещающим.

— Очень хорошо, — сказал Ранджит. — Следовательно, «два» — это простое число, «три» — простое число, а вот четыре делится не только само на себя и на единицу, но и на два. Поэтому «четыре» простым числом не является. Следующий вопрос: по какому принципу отбирать простые числа?

Студенты загомонили, но в первый момент никто не поднял руку. Ранджит усмехнулся.

— Трудный вопрос, правда? Предлагались разные способы, и многие из них требуют мощных компьютеров. Но есть способ, для которого нужен только мозг, рука и что-то пишущее, и он гарантирует обнаружение всех простых чисел в тех рамках, какие вы себе поставите. Этот метод называется ситом или решетом Эратосфена. Решетом умеет пользоваться любой. То есть любой, у кого в запасе много времени.

Ранджит повернулся к доске и написал маркером числа от одного до двадцати.

— Есть стишок, который поможет вам кое-что запомнить, — сообщил он студентам, не оглядываясь, и прочел это мнемоническое стихотворение:

Мы два возьмем и три возьмем,

А после сито мы встряхнем.

От чисел кратных мы избавимся

И лишь с простыми мы останемся.

— Вот как это получается, — продолжал Ранджит. — Взгляните на ряд чисел. Сразу отбросьте число «один». Среди математиков-теоретиков существует что-то вроде джентльменского соглашения: делать вид, будто единицы нет в этом ряду, потому что любая теорема в области теории чисел становится шаткой, если в нее включается число «один». А значит, первым числом в нашем ряду является двойка. Теперь движемся вперед по ряду и убираем из него все четные числа. То есть любые числа, которые делятся на два, кроме самого числа «два» — а это четыре, шесть, восемь и так далее. — Ранджит зачеркнул эти числа. — Теперь самым маленьким оставшимся числом после двойки и того числа, про которое мы нарочно забыли, является тройка, поэтому мы убираем из списка девять и все последующие числа, которые делятся на три. У нас остаются два, три, пять, семь, одиннадцать и так далее. Теперь перед вами перечень первых простых чисел.

Пока мы добрались только до двадцати, потому что у меня устала рука. Но решето способно работать дальше.

Если бы вам пришлось записать первые девяносто тысяч чисел, то есть все числа от одного до девяноста тысяч, вы бы получили порядка тысячи простых чисел.

— А сейчас, — сказал Ранджит, по примеру многих преподавателей глянув на настенные часы, — поскольку нам предстоит заниматься еще три часа, я объявляю небольшой перерыв. Разомнитесь, сбегайте в туалет, поболтайте с товарищами, но, пожалуйста, через полчаса возвращайтесь на свои места, потому что в это время мы возьмемся за дело по-настоящему.

Он не стал ждать и смотреть, как студенты расходятся из аудитории, а нырнул в боковую дверь, откуда коридор вел к факультетским помещениям. Одним из них был туалет для преподавателей. «Никогда не упускай возможности отлить» — согласно поверью, такое наставление давала своим подданным английская королева.

Потом Ранджит позвонил домой.

— Ну как? — взволнованно поинтересовалась Майра.

— Не знаю, — признался Ранджит. — Пока все сидели тихо, но когда я задавал вопросы, несколько человек подняли руки. — Он немного подумал и добавил: — Пожалуй, можно сказать, что я испытываю осторожный оптимизм.

— А я, — заявила супруга, — нет. В смысле, не осторожный. Уверена, ты их сразишь наповал, а когда вернешься домой, мы это отпразднуем.

К тому времени, когда Ранджит возвратился в аудиторию, все уже сидели на своих местах, хотя до шести часов еще оставалась минута. «Хороший знак», — с надеждой подумал Ранджит и рванул, что называется, с места в карьер.

— Сколько всего простых чисел? — спросил он.

На этот раз студенты не торопились поднимать руки, но в итоге подняли — почти все. Ранджит указал на девушку в первом ряду. Она встала и сказала:

— Я думаю, сэр, что количество простых чисел бесконечно.

Но когда Ранджит спросил, почему она так думает, девушка опустила голову и, не ответив, села.

Другой студент выкрикнул:

— Это доказано!

— Да, доказано, — согласился Ранджит. — Если вы составите перечень простых чисел, независимо от того, как велик будет он, и независимо от того, как велико последнее число, всегда найдутся другие простые числа, которых нет в этом перечне.

А теперь давайте представим, что мы с вами люди очень глупые, в числах разбираемся плохо и поэтому решили, что «девятнадцать» — это самое большое простое число, какое только может быть. И мы составим перечень простых чисел меньше девятнадцати — то есть от двух до семнадцати, и перемножим их. Два умножим на три, на пять и так далее. Мы сможем сделать это, потому что, хотя мы очень глупые, у нас есть очень умный калькулятор.

Ранджит дождался, пока утихнет сдержанный смех, и продолжил:

— Итак, мы произвели умножение и получили результат. Давайте добавим к этому результату единицу, и у нас получится число, которое мы назовем N. Что же нам известно об этом N? Нам известно, что оно само может оказаться простым числом, ведь, по определению, если вы разделите его на любое из нашего перечня, вы получите в остатке один. А если N окажется составным числом, оно не сможет иметь других множителей, кроме тех, которые есть в нашем перечне.

Итак, мы доказали: сколько бы ни было простых чисел в нашем списке, всегда найдутся простые числа больше тех, которые есть в списке, а следовательно, количество простых чисел бесконечно. — Он умолк и обвел аудиторию взглядом. — Кто-нибудь из вас, случайно, не знает, от кого мы получили в подарок это доказательство?

Руку никто из студентов не поднял, но некоторые выкрикнули фамилии выдающихся математиков: