Как же называется эта книга? - читать онлайн книгу. Автор: Рэймонд М. Смаллиан cтр.№ 42

196. Единый принцип. Условимся называть представителя элиты трансильванского общества аристократом типа 1, если на вопрос «дважды два – четыре?» он отвечает «бал». Разумеется, на любой другой вопрос с правильным ответом «да» трансильванский аристократ типа 1 ответит «бал».

Условимся называть представителя трансильванской элиты аристократом типа 2, если он не типа 1. Это означает, что если X – любое истинное высказывание (например, «дважды два – четыре») и вы спрашиваете аристократа типа 2, истинно ли X, то он ответит «да» (не путать с «нашим» привычным «да»!).

Сразу же ясно, что если «бал» означает «да», то аристократы типа 1 надежны, а аристократы типа 2 ненадежны. Если же бал» означает «нет», то картина обратная (аристократы типа 1 ненадежны, а аристократы типа 2 надежны).

Единый принцип конструирования вопросов заключается в следующем. Чтобы выяснить, истинно ли любое утверждение X, достаточно спросить у любого трансильванского аристократа, эквивалентно ли утверждение о том, что он аристократ типа 1, утверждению X. Вопрос можно задать, например так: «Истинно ли X в том и только в том случае, если вы аристократ типа 1?» Докажем, что если на такой вопрос последует ответ «бал», то X должно быть истинно, а если «да», то X должно быть ложно. Следовательно, «волшебное» утверждение S – это просто-напросто утверждение «вы аристократ типа 1» (или «на вопрос “дважды два – четыре?” вы ответите “бал”»).

Доказательство. Пусть S – утверждение «вы аристократ типа 1», X – утверждение, истинность или ложность которого требуется установить. Вы задаете вопрос: «Эквивалентно ли S утверждению X?» Предположим, что вам отвечают «нет». Требуется доказать, что X должно быть истинно.

Случай 1: «бал» означает «да». В этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 надежен; 2) наш собеседник, говорящий «бал», утверждает, что S эквивалентно X.

Подслучай 1а: аристократ типа 1. Он надежен и высказывает истинные утверждения. Следовательно, S действительно эквивалентно X. Но S истинно (так как аристократ относится к типу 1). Значит, X истинно.

Подслучай 1б: аристократ типа 2. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. Так как он утверждает, что S эквивалентно X, то в действительности S не эквивалентно X. Но S ложно (так как аристократ не принадлежит к типу 1), а X не эквивалентно S. Следовательно, X истинно.

Случай 2: «бал» означает «нет». В этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 ненадежен; 2) наш собеседник, говорящий «бал», утверждает, что S не эквивалентно X.

Подслучай 2а: аристократ типа 1. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. По его словам (не соответствующим действительности), S не эквивалентно X. Значит, на самом деле S эквивалентно X, а так как S истинно, то X истинно.

Подслучай 2б: аристократ типа 2. Он надежен и высказывает истинные утверждения. Значит, S не эквивалентно X (так как, по его словам, S не эквивалентно X). Но S ложно. Следовательно, X должно быть истинно.

Итак, доказано, что ответ «бал» означает истинность высказывания X. Повторив аналогичные рассуждения, мы могли бы доказать, что ответ «да» означает ложность высказывания X. Но к тому же результату можно прийти и более коротким путем, если рассуждать следующим образом.

Предположим, что наш собеседник говорит в ответ «да». Ответ «да» на заданный вопрос означает то же, что и ответ «бал» на вопрос «Верно ли, что вы аристократ типа 1 в том и только в том случае, если X ложно?» (поскольку для любых двух утверждений Y и Z утверждение «Y эквивалентно Z» противоположно утверждению «Y эквивалентно не Z»). Следовательно, если бы вы задали вопрос: «Верно ли, что вы аристократ типа 1 в том и только в том случае, если X ложно?», то ваш собеседник ответил бы «бал». А так как он ответил бы «бал», то отсюда (как доказано выше) следует, что X действительно ложное утверждение.

197. Ответ на вопрос о мелких несоответствиях.

1 и 2. В двух случаях (говоря о том, что ему ни разу не случалось упускать намеченную жертву, и разъясняя действие «волшебного» утверждения S) Дракула произносит «да». Представители высшей трансильванской знати, к числу которых принадлежит и он, не употребляют слова «да».

3. Когда свирепого вида страж сообщил мне, что я не могу покинуть замок без разрешения хозяина, с чего это вдруг я ему поверил?

4. Когда хозяин замка прислал мне ответную записку «Никаких отлучек!», с чего мне понадобилось ему верить? Ведь в тот момент я еще не знал, что владелец замка – упырь, лишившийся рассудка, и высказывает (письменно и устно) истинные утверждения.

А. ЧТО ТАКОЕ ЛОГИКА

198. Определение логики по Траляля

Мне нравится следующее определение логики, принадлежащее Траляля:

Т р у л я л я (обращаясь к Алисе). Я знаю, о чем ты думаешь, но это не так! Ни в коем разе!

Т р а л я л я. Наоборот, если было так, то так могло быть, а если бы так было, то так и было бы. Но ничего такого нет. Это и есть логика.

199. Определение логики по Терберу

В романе «Тринадцать часов» Тербер приводит определение логики, суть которого сводится примерно к следующему. Поскольку можно прикоснуться к часам, не останавливая их, то можно пустить часы, не прикасаясь к ним. Это – логика, какой я ее вижу и понимаю.

200

Определение логики по Терберу несколько напоминает мой излюбленный силлогизм: некоторые автомашины дребезжат на ходу. Моя автомашина – это некоторая автомашина. Неудивительно, что моя автомашина дребезжит!

201. Еще одно определение логики

Мой приятель, отставной полицейский офицер, узнав, что я логик, сказал мне однажды: «Знаешь, что я понимаю под логикой? Однажды мы с женой были в гостях. Хозяйка предложила нам отведать пирога. На подносе лежало всего два куска пирога, один побольше, другой поменьше. Немного подумав, я решил взять себе тот, что побольше. Рассуждал я при этом так. Я знаю, что моя жена любит пироги и что она знает, что я люблю пироги. Я также знаю, что она любит меня и хочет, чтобы я был счастлив. Следовательно, ей хочется, чтобы я взял себе тот кусок пирога, который побольше. Так я и сделал».

202

Рассказ моего приятеля напомнил мне историю о двух посетителях ресторана, заказавших рыбу. Официант принес блюдо с двумя рыбами: одной побольше, другой поменьше. Один из посетителей сказал другому: «Прошу вас. Выбирайте любую, какая вам больше правится». Сотрапезник поблагодарил за любезность и положил себе на тарелку ту рыбу, которая была побольше. После напряженного молчания первый посетитель заметил: «Если бы вы предоставили мне право первого выбора, то я взял бы себе ту рыбу, которая поменьше!» «На что вы, собственно, жалуетесь? – осведомился у него другой посетитель. – Ведь вы получили именно то, что хотели!»