Наука логики. Том 1 - читать онлайн книгу. Автор: Георг Гегель cтр.№ 78

В этом бесконечном ряду действительно имеется та неточность, которая в истинном математическом бесконечном встречается лишь как видимость. Не следует смешивать эти два вида математического бесконечного, точно так же, как не следует смешивать вышеуказанные два вида философского бесконечного. Первоначально применяли для изображения истинного математического бесконечного форму ряда, и в новейшее время она опять была вызвана к жизни. Но она для него не необходима. Напротив, как сделается ясным в дальнейшем, бесконечное бесконечного ряда существенно отлично от этого истинного бесконечного. Он, напротив, уступает в этом отношении даже выражению бесконечного, даваемому дробью.

А именно бесконечный ряд содержит в себе дурную бесконечность, так как то, что должно быть выражено рядом, остается долженствованием, а то, что он выражает, обременено неисчезающим потусторонним и отлично от того, что должно быть выражено. Он бесконечен не из-за тех своих членов, которые положены, а потому, что они неполны, так как другое, которое, по существу, принадлежит к ним, находится по ту сторону их; то, что в нем есть, хотя бы положенных членов было сколь угодно много, есть лишь конечное в собственном смысле этого слова, положено как конечное, т. е. как нечто такое, что не есть то, чем оно должно быть. Напротив, то, что называется конечным выражением или суммой такого ряда, безупречно; оно содержит в себе полностью то значение, которого ряд только ищет; убегавшее потустороннее снова возвращено назад; то, что этот ряд есть, и то, чем он должен быть, уже не разделено, а есть одно и то же.

Различие между ними, скажем сразу, заключается ближе в том, что в бесконечном ряде отрицательное находится вне тех его членов, которые имеются налицо, так как они признаются лишь частями численности. Напротив, в конечном выражении, которое есть отношение, отрицательное находится внутри него как определяемость членов отношения друг другом, которая есть возвращение в себя, соотносящееся с собою единство как отрицание отрицания (оба члена отношения имеют бытие лишь как моменты), и, следовательно, имеет внутри себя определение бесконечности. Таким образом, обыкновенно так называемая сумма, ²/₇ или ¹/_(1-a), есть на самом деле отношение, и это так называемое конечное выражение есть истинно бесконечное выражение. Напротив, бесконечный ряд есть на самом деле сумма; его цель состоит в том, чтобы представить то, что в себе есть отношение, в форме некоторой суммы, и имеющиеся налицо члены ряда имеют бытие как члены не некоторого отношения, а агрегата. Он, далее, есть скорее конечное выражение, ибо он есть несовершенный агрегат и остается чем-то существенно недостаточным. По тому, что в нем имеется, он есть некоторое определенное количество, но вместе с тем меньшее того определенного количества, которым он должен быть; а затем и то, чего ему недостает, также есть некоторое определенное количество; эта недостающая часть и есть на самом деле то, что называется в ряде бесконечным только с той формальной стороны, что она есть некоторое недостающее, некоторое небытие; по своему же содержанию она есть конечное определенное количество. Только то, что налично в ряде, вместе с тем, чего ему недостает, составляет то, что представляет собою дробь, то определенное количество, которым он также должен быть, но которым он не в состоянии быть. Слово «бесконечное» также и в сочетании «бесконечный ряд» обыкновенно кажется мнению чем-то высоким и величественным; это – вид суеверия, суеверие рассудка. Мы видели, что оно, наоборот, сводится к определению недостаточности.

Можно еще заметить, что существование таких бесконечных рядов, которые не суммируются, есть в отношении формы ряда вообще обстоятельство внешнее и случайное. Эти ряды содержат в себе высший вид бесконечности, чем суммирующиеся ряды, а именно несоизмеримость или, иначе говоря, невозможность представить содержащееся в них количественное отношение как некоторое определенное количество, хотя бы в виде дроби. Но свойственная им форма ряда как таковая содержит в себе то же самое определение дурной бесконечности, какое присуще суммируемому ряду.

Только что указанная на примере дроби и ее ряда превратность выражения имеет также место, когда математическое бесконечное – не только что названное, а истинное – называют относительным бесконечным, а, напротив, обычное метафизическое, под которым разумеют абстрактное, дурное бесконечное, абсолютным. На самом же деле, наоборот, это метафизическое бесконечное лишь относительно, потому что отрицание, которое оно выражает, противоположно границе лишь в том смысле, что последняя остается существовать вне него и не снимается им; напротив, математическое бесконечное поистине сняло конечную границу внутри себя, так как ее потусторонность соединена с нею.

Преимущественно в том смысле, в котором мы показали, что так называемая сумма или конечное выражение бесконечного ряда должно быть, наоборот, рассматриваемо как бесконечное выражение, Спиноза выставляет и поясняет примерами понятие истинной бесконечности в противоположность дурной. Его понятие будет лучше всего освещено, если я рассмотрю сказанное им об этом предмете непосредственно вслед за только что изложенными соображениями.

Он сначала определяет бесконечное как абсолютное утверждение существования какой-нибудь природы, а конечное, напротив, как определенность, как отрицание. Абсолютное утверждение некоторого существования следует именно понимать как его соотношение с самим собою, означающее, что оно есть не благодаря тому, что другое есть; конечное же есть, напротив, отрицание, прекращение как соотношение с некоторым другим, начинающимся вне его. Абсолютное утверждение некоторого существования, правда, не исчерпывает понятия бесконечности; это понятие означает, что бесконечность есть утверждение не как непосредственное, а лишь как восстановленное через рефлексию другого в само себя или, иначе говоря, как отрицание отрицательного. Но у Спинозы субстанция и ее абсолютное единство имеют форму неподвижного, т. е. не опосредствующего себя с самим собою единства, – форму некоторой оцепенелости, в которой еще не находится понятие отрицательного единства самости, субъективность.

Математическим примером, которым он поясняет истинное бесконечное (письмо XXIX), служит пространство между двумя неравными кругами, один из которых находится внутри другого, не касаясь его, и которые не концентричны. Он, по-видимому, придавал столь большое значение этой фигуре и тому понятию, в качестве примера которого ^[57] он ее применяет, что сделал ее эпиграфом своей «Этики» ^[58]. «Математики, – говорит он, – умозаключают, что неравенства, возможные в таком пространстве, бесконечны не от бесконечного множества частей, ибо величина этого пространства является определенной и ограниченной, и я могу предположить такое пространство большим или меньшим, а они делают этот вывод на том основании, что природа этой вещи превосходит всякую определенность» ^[59]. Как видим, Спиноза отвергает то представление о бесконечном, согласно которому представляют себе его как множество или как незавершенный ряд, и напоминает, что в пространстве, приводимом им как пример, бесконечное не находится по ту сторону, а налично и полно; это пространство есть нечто ограниченное, но бесконечное именно потому, «что природа вещи превосходит всякую определенность», так как содержащееся в нем определение величины вместе с тем не может быть представлено как некоторое определенное количество или, употребляя вышеприведенное выражение Канта, синтезирование не может быть закончено, доведено до некоторого дискретного – определенного количества. Каким образом противоположность между непрерывным и дискретным определенным количеством приводит к бесконечному – это мы разъясним в одном из следующих примечаний. Бесконечное некоторого ряда Спиноза называет бесконечным воображения, бесконечное же, как соотношение с собою самим, он называет бесконечным мышления или infinitum actu (актуально бесконечным). Оно именно actu, действительно бесконечно, так как оно завершено внутри себя и налично. Так, например, ряд 0,285714… или 1 + a + a² + + a³… есть лишь бесконечное воображение или мнения, ибо он не обладает действительностью, ему безоговорочно чего-то недостает. Напротив, ²/₇ или ¹/_(1-a) есть в действительности не только то, что ряд представляет собою в своих наличных членах, но вдобавок к этому еще и то, чего ему недостает, чем он только должен быть. ²/₇ или ¹/_(1-a) есть такая же конечная величина, как заключенное между двумя кругами пространство и его неравенства в примере Спинозы, и, подобно этому пространству, она может быть сделана большей или меньшей. Но отсюда не получается несообразность большего или меньшего бесконечного, так как это определенное количество целого не касается отношения его моментов, природы вещи, т. е. качественного определения величины; то, что в бесконечном ряде имеется налицо, есть также некоторое конечное определенное количество, но, кроме того, еще нечто недостаточное. Напротив, воображение не идет дальше определенного количества как такового и не принимает во внимание качественного соотношения, составляющего основание имеющейся несоизмеримости.