Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - читать онлайн книгу. Автор: Йен Стюарт cтр.№ 46

читать книги онлайн бесплатно
 
 

Онлайн книга - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса | Автор книги - Йен Стюарт

Cтраница 46
читать онлайн книги бесплатно

Но это выражение кажется не имеющим смысла, ведь у числа –121 не существует квадратного корня. Кардано зашел в тупик и написал Тарталье, попросив его объяснить это недоразумение, но Тарталья не уловил сути вопроса, и его ответ был невразумителен.

Решение проблемы нашел Рафаэль Бомбелли в своем трехтомном труде «Алгебра», изданном в Венеции в 1572 г. и в Болонье в 1579 г. Бомбелли не устраивали загадки и недоговоренности «Великого искусства» Кардано, и он взял на себя труд написать нечто более ясное. Он стал оперировать этим «нескладным» квадратным корнем, как если бы это было обычное число, отмечая:


Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

и выводя из этого любопытную формулу:


Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Точно так же Бомбелли вывел формулу:


Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Теперь мы можем записать сумму двух кубических корней как


Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Итак, этот странный метод всё же привел нас к верному ответу – безупречно целому числу, хотя нам и пришлось манипулировать «невозможными» величинами.

Да, это всё очень интересно, но работает ли это?

Мнимые числа

В поисках ответа на этот вопрос математикам пришлось найти надежные пути рассуждений о квадратных корнях из отрицательных чисел и способы вычислений с их использованием. Первые ученые, в том числе Декарт и Ньютон, считали эти мнимые числа верным признаком того, что у задачи нет решения. Если вам надо найти число, чей квадрат равен –1, то формальное решение является мнимым числом, а значит, решения не существует. Но вычисления Бомбелли предполагают, что только мнимостью здесь не ограничиться. Эти числа можно использовать для поиска решения, они показывают, что оно существует.

В 1673 г. Джон Валлис изобрел простой способ представлять мнимые числа в виде точек на плоскости. Он исходил из привычного метода построения действительных чисел в виде прямой, расставив на ней положительные числа по правую сторону и отрицательные по левую.

Затем он ввел еще одну прямую, под прямым углом к первой, и уже на ней расположил мнимые числа.

Это похоже на алгебраический подход Декарта к геометрии с использованием координатных осей. Только здесь на одной оси мы видим действительные числа, а на второй – мнимые. Валлис несколько иначе выразил эту идею: его версия скорее была ближе к подходу Ферма, чем напоминала систему координат Декарта. Но основной принцип тот же. Оставшаяся плоскость соотносится с комплексными числами, состоящими из двух частей: одна действительная, другая мнимая. В декартовой системе координат мы отмеряем действительную часть вдоль вещественной прямой, а мнимую – параллельно мнимой линии. Иными словами, число 3 + 2i будет отложено на три единицы вправо от начала координат и на две единицы вверх.


Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Линия действительных чисел


Идея Валлиса решила проблему придания смысла мнимым числам, но никому не пришло в голову обратить на это внимание. И всё же медленно, но верно идея распространялась на уровне подсознания. Все больше математиков переставали беспокоиться, что √–1 не может занять место на действительной прямой, и понимали, что он разместится где-то в более просторном мире комплексной плоскости. Но были и такие, кто отвергал саму идею: в 1758 г. некто Франсуа Дэви де Фонсене категорически утверждал в своем труде, что совершенно не имеет смысла представлять, будто мнимые числа формируют линию, расположенную под прямым углом к линии действительных чисел. Но всё же больше было таких, кто искренне приветствовал идею Валлиса, понимая ее важность.


Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Две дублирующиеся линии с действительными числами, расположенные под прямым углом


Идея, что комплексная плоскость позволяет расширить вещественную прямую и дать приют мнимым числам, подразумевалась в работе Валлиса, хотя ее объяснение было несколько туманным. Более ясное изложение мы находим у норвежца Каспара Весселя в издании от 1797 г. Вессель был землемером, он стремился прежде всего представить геометрию плоскости с помощью чисел. И наоборот: его идеи можно рассматривать как способ представления комплексных чисел в терминах планиметрии. Но он опубликовал свою работу только в Дании, и она оставалась под спудом почти целый век, пока ее не перевели на французский. Французский математик Жан-Робер Арган опубликовал такой же способ представления комплексных чисел в 1806 г., а Гаусс открыл независимо от них то же самое в 1811 г.


Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Комплексная плоскость по Весселю


Комплексный анализ

Если бы комплексные числа так и остались полезны только для алгебры, им было бы суждено оставаться отвлеченным научным курьезом, занимающим исключительно математиков. Но по мере роста интереса к исчислению, который принял строгую форму математического анализа, люди стали замечать, что действительно интересное слияние вещественного анализа с комплексными числами – точнее, комплексный анализ – не только возможно, но и желательно. Действительно, для многих задач это существенно.

Это открытие выросло из первых попыток обдумать существование комплексных функций. Самые простые функции, такие как возведение в квадрат или в куб, зависят только от алгебраических операций, поэтому было легко определить их для комплексных чисел. Чтобы возвести в квадрат комплексное число, необходимо умножить его само на себя, и тот же прием годится для действительных чисел. Квадратные корни из комплексных чисел немного каверзнее, но приносят нам приятную награду за потраченные силы: каждое комплексное число имеет квадратный корень. И действительно, любое такое число, не равное 0, имеет ровно два квадратных корня (положительный и отрицательный, равные по модулю). Так мы обогатили действительные числа новым числом i, вдобавок обеспечив –1 квадратным корнем и определив квадратные корни для любого числа в расширенной системе комплексных чисел. А как быть с синусами, косинусами, экспонентами и логарифмами? На этом этапе они особенно интересны, но и более головоломны. Особенно логарифмы.

Вернуться к просмотру книги Перейти к Оглавлению Перейти к Примечанию