Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - читать онлайн книгу. Автор: Эрик Темпл Белл cтр.№ 84

Мы еще вернемся к некоторым положениям. Четвертый и последний вывод Канта мало что добавляет к первым трем.

4. «Пространство есть… чистая интуиция… Интуиция, которая априори не основана на опыте, должна сформировать обоснование всех концепций пространства. Тем же путем все геометрические принципы (например, «любые две стороны треугольника вместе больше третьей стороны») никогда не могли быть получены из общей концепции стороны или треугольника, но формируют интуицию, и это априорно с аподиктической верностью».

Это (по Канту) восприятие пространства и геометрии, с его априорными интуициями и его аподиктическими истинами, длительное время воспринималось как окончательное среди многочисленных метафизиков. Кант сформулировал похожую доктрину чисел и арифметики. Обе не заслуживают внимания в данной работе, поскольку не имеют ничего общего с математическим фактом. Его априорное «время» пошло путем его геометрии и арифметики, не потому, что конфликтовало с математикой, которая не связана с рассуждениями на тему природы времени, а потому, что оно опровергается современной экспериментальной и теоретической физикой. Здесь остановимся только на том, что имеет отношение к геометрии Канта.

Кант был уверен, что геометрия состоит из положений (декларативных суждений), которые не зависят от опыта (являются априорными), необходимо справедливых (аподиктичных) и которые содержат фактический материал (то есть синтетичны). Что таких положений нет в математике (или где-либо еще, насколько это известно человечеству) – одно из простейших заключений математической логики наших дней. Ошибка Канта произошла от его непонимания разницы двух абсолютно разных вещей. Читатель придет в замешательство от бесплодной борьбы Канта за объяснение обоих вещей одновременно и одними и теми же словами, если не поймет, что он говорит не об одном понятии, а сразу о двух. Его пара – «физическая геометрия» и «математическая геометрия».

Физическая геометрия в своем прикладном варианте только отчасти эмпирическая наука, созданная затем, чтобы дать связное описание мира чувственного (и научного) опыта. Математическая геометрия – это система постулатов и дедуктивных выводов из них, созданная безотносительно к чувственному опыту или намеренно соотнесенная с ним. Как определяет одна из современных школ математической философии, в математической геометрии «истина» представляется как устойчивая логическая последовательность (свобода от противоречий внутри системы), в физической геометрии «истина» включает приближенное соответствие с наблюдаемым феноменом. Досконально проанализированные предположения математической геометрии «истинны» просто как форма логических предположений. Такие предположения именуются «аналитическими», например: «Сейчас идет дождь» или «Сейчас не идет дождь». Но «Сейчас идет дождь» либо конкретно «фактически истинно», либо «фактически ложно», и какое оно, можно определить, выглянув на улицу. Это предположение имеет фактическое содержание. А первое его не имеет, поскольку ничто не говорит о фактической погоде.

Отличие физической и математической геометрии можно проиллюстрировать неудачным примером Канта в его третьем общем выводе, процитированном выше. Если «прямая линия» определена четко, из этого не следует, что через две точки можно провести единственную прямую ни в математической, ни в физической геометрии. Определение Евклида гласит: «Прямая линия – это линия, которая ровно соединяет крайние точки». И, судя по всему, Кант мог иметь в виду именно это нечеткое интуитивное понятие. После минутного раздумья понимаем, что предполагаемое определение Евклида ничего не определяет вообще. Как часто указывают в школьных геометриях: «Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками». Это определение интуитивно удовлетворительно и полезно, а данное чуть позднее «точке» и «расстоянию» – дается ясное численное определение. Чтобы избежать загадок там, где ничего таинственного нет, «прямая линия» заменяется на «геодезическую». Геодезическая в «пространстве» может быть малым и большим расстоянием между двумя точками в пространстве. (Это достаточно близко к четкому математическому определению для конкретных целей этой книги.) Если пространство рассматривать как поверхность сферы (не то, что поверхность включает, а ее саму), диаметрально противоположные точки могут быть соединены бесконечным множеством таких геодезических прямых (дугами больших окружностей на сфере). «Случайности восприятия», на которые намекает Кант, кажется, создают для него иллюзию, что Земля плоская. Его второй пример: «никакое пространство еще не найдено, кроме трехмерного» – очень давно потерял смысл вместе с появлением возможности строить пространство любой размерности. Наиболее известен пример пространства, имеющего более трех измерений, – полезное в научном плане четырехмерное пространство из теории относительности.

То, что Кант воспел евклидову геометрию как единственно верную истину, оказалось неудачным для продвижения его метафизики. Следствием создания неевклидовых геометрий стало разграничение математической и физической геометрий. Каждая из этих геометрий, в том числе геометрия Евклида, когда устранены очевидные недостатки, самосогласованна, и они не конкурируют между собой. Каждая математически «истинна». А которая физически «истинна»? Как оказалось, для научных задач применение нескольких геометрий вполне разумно и достаточно, но иногда отдельная геометрия полезнее всех остальных для решения конкретной задачи. Каждая «истинна», то есть самосогласованна в абстрактном, логическом или математическом смысле, одна из нескольких «истинна» в физическом смысле для определенного набора задач, но, будучи не согласованы между собой, две не могут быть истинны для того же круга задач. Когда во всем этом разобрались, в начале 1900-х годов, отдельные ученые и математики совместили понятие «истины» с применимостью. Но не было никакой необходимости вносить очередную путаницу в область, из которой наконец-то, после почти двух тысяч лет неверного толкования, была исключена путаница.

Было бы интересно познакомиться с нумерологией Канта, особенно по его знаменитой таблице из двенадцати категорий, представленной в виде четырех триад, каждая из которых находится в кардинальных точках. Но мы не будем занимать место для того, чтобы продемонстрировать или обсудить его самые интересные трихотомические ветвления, в которых философ впервые отказался от пифагорейского «деления на два», дихотомии и отважно разделил все на три. Вместо этого перейдем к словам Гаусса (выдающегося математика и современника Канта, уже упомянутого как одного из трех величайших математиков в истории), которыми тот охарактеризовал математическую философию Канта и других любителей математики. Для начала несколько слов о самом Гауссе.

Гауссу (1777–1855) исполнилось двадцать семь лет, когда Кант умер. К тому времени он уже был признан ближайшими соперниками выдающимся математиком в мире. Если Кант и слышал что-нибудь о Гауссе, то не придал этому значения. Оба, математик и философ, были известными домоседами. Самое длинное путешествие Канта составило сорок миль от Кенигсберга, рекорд Гаусса составлял двадцать семь миль от Геттингена, и для каждого из них столь далекое путешествие оказалось единственным приключением. Во всем остальном «величайший философ со времен Платона» и «величайший математик со времен Ньютона» были удивительно не похожи. Здоровяк Гаусс, всю свою жизнь обладавший крепким здоровьем, был законченным ипохондриком. Миниатюрный и хрупкий Кант поддерживал в себе жизнь только благодаря жесткой самодисциплине и постоянной заботе о здоровье. Но они были схожи в боязни собственной смерти. Когда они теряли друзей, то бывший друг вычеркивался из списка живых, и его было запрещено даже упоминать. Гаусс никогда не добивался почитания и, хотя всегда был полностью уверен в своем огромном вкладе в развитие современной математики, никогда не проявлял признаков самолюбования. Кант к старости несколько утомлял окружающих, уверовав в свою первосвященническую безгрешность. Интеллектуальные способности у метафизика ухудшались с возрастом, а у математика оставались все такими же полноценными и мощными вплоть до самого смертного часа. Интерес представляет радикальное отличие Канта и Гаусса. Если сравнение между такими несоизмеримостями, как метафизика и математика, возможно, то допустимо утверждать, что Гаусс лучше разбирался в метафизике, чем Кант – в математике. После окончания университета Кант не имел даже слабого представления о том, что происходит в жизни математики. Гаусс же всю жизнь продолжал прилежно изучать философию. Свободное владение языками позволяло ему не отставать от событий в мире философии не только Германии, но и других стран. Разумеется, он всегда считал себя лишь заинтересованным любителем, не претендуя на сколь-нибудь значимую роль в философии. Но любитель уровня Гаусса вполне может «стоить трех» профессионалов, особенно в философии математики. Пожалуй, в этом случае у Гаусса явное преимущество. Будь он честолюбив, он, а не Лобачевский получил бы титул «Коперника геометрии». Его интерес к фундаментальной геометрии возник еще в возрасте двенадцати лет. Когда умер Кант, Гаусс уже сделал некоторые шаги к неевклидовой геометрии, но нарочно отложил эти исследования, чтобы избежать бесполезных словесных препирательств с фанатиками от математики и профанами от метафизики. Поэтому нет ничего удивительного, что Гаусс не испытывал симпатий к философии математики Канта. Хотя Кант и читал работы Ньютона, а может быть, и из-за того, что он их читал, математические инструменты Канта, применяемые им при изучении проблемы математической истины, были так же стары, как и Евклидовы. С точки зрения математики «Критике» вместо XVIII века следовало появиться в IV веке до н. э.