Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса | Йен Стюарт | страница 52 | LoveRead.ec

где 2, 6, 24, 120 и т. д. являются факториалами – произведениями последовательности целых чисел (например, 120 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5). Эвристически Эйлер уже выводил эту формулу, теперь же Вейерштрасс получил ее логическим путем. В очередной раз использовав страницы из книги Эйлера, он сумел преобразовать тригонометрические функции в экспоненциальные, определив:

cos θ = ¹/₂ (eⁱ^θ + e^–ⁱ^θ),

sin θ = ¹/₂_i (eⁱ^θ – e^–ⁱ^θ).

Все стандартные свойства этих функций вытекают из их выражений в виде степенного ряда. Вы даже можете определить π и доказать, что eⁱ^π = –1, как утверждал Эйлер. И из этого, в свою очередь, вытекает, что комплексные логарифмы ведут себя именно так, как описывал Эйлер. Всё это наполнилось смыслом. Комплексный анализ перестал быть загадочным продолжением вещественного анализа: он превратился в самостоятельный серьезный предмет. На поверку вышло, что подчас работать в комплексной области даже проще, чтобы выразить в конце вещественный результат.

По Вейерштрассу, все эти достижения были лишь началом – первым этапом грандиозной программы. Но главное – были получены правильные основания. Теперь математики могли без опасений продолжать строить всё более сложное здание нового раздела науки.

Вейерштрасса отличал поразительно светлый ум, открывавший ему путь в самых сложных хитросплетениях пределов, производных и интегралов. И он не сбивался с выбранного курса. Также он заранее видел потенциально трудные места. Одна из его самых удивительных теорем доказывала, что существует функция f(x) от действительной переменной x, непрерывная в любой точке, но не дифференцируемая ни в одной точке. Графиком такой функции является непрерывная кривая, но ее изгибы так прихотливы, что мы не можем провести ни одну касательную к ней. Его предшественники не верили в такую возможность, современники недоумевали, к чему ведет такая теорема. А его последователи развили теорему в самую захватывающую новую теорию ХХ в. – теорию фракталов.

Но об этом мы поговорим позже.

ГИПОТЕЗА РИМАНА

Самой известной нерешенной проблемой для всех математиков является гипотеза Римана: вопрос комплексного анализа, возникший в связи с простыми числами, отразился в итоге на всей математике.

Примерно в 1793 г. Гаусс предположил, что количество простых чисел, меньших х, приблизительно равно x/ln x. На самом деле он сделал более точное приближение, названное интегральным логарифмом. В 1737 г. Эйлер отметил многообещающую связь между теорией чисел и анализом: бесконечный ряд

1 + 2^–^s + 3^–^s + 4^–^s + …

равен произведению, по всем простым р, следующего ряда:

1 + p^–^s + p^–2^s + p^–3^s + … = 1/(1 – p^–^s).

Здесь мы должны взять s > 1, чтобы ряд сходился.

В 1848 г. Пафнутий Чебышёв добился некоторого прогресса в доказательстве предположения Гаусса, используя комплексную функцию, родственную рядам Эйлера и позже названную дзета-функцией ζ(z). Роль ее полностью осветил Риман в 1859 г. в своей статье «On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude» («О числе простых чисел, не превышающих заданной величины»). Он показал, что статистические свойства простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции, т. е. решениями z уравнения ζ(z) = 0.

В 1896 г. Жак Адамар и Шарль де ла Валле-Пуссен использовали дзета-функцию для доказательства теоремы о распределении простых чисел. Главной трудностью было показать, что ζ(z) не равна 0 для всех z вида 1 + it. Чем лучше мы контролируем расположение нулей дзета-функции, тем больше узнаем о простых числах. Риман предположил, что все нули, за исключением тривиальных (получающихся при z, равной отрицательным четным целым числам), расположены на критической прямой z = ¹/₂ + it.

В 1914 г. Харди доказал, что на этой прямой располагается бесконечное множество нулей. Мощные компьютерные данные позже подтвердили эту гипотезу. Себастьян Веденивский с помощью компьютерной программы ZetaGrid в 2001–2005 гг. удостоверил, что первые 100 миллиардов нулей лежат именно на критической прямой.

Гипотеза Римана отмечена номером 8 в знаменитом списке нерешенных кардинальных математических задач, составленном Давидом Гильбертом и содержащем 23 пункта. Кроме того, это одна из задач тысячелетия, за решение которой Математический институт Клея предлагает миллион долларов.

Прочные основы

Первопроходцы в области исчисления с кавалерийской отвагой оперировали бесконечностью. Эйлер предположил, что степенные ряды подобны многочленам, и использовал эту гипотезу с сокрушительным эффектом. Но в руках простых смертных такого рода наскоки легко могут привести к откровенной глупости. Даже сам Эйлер иногда высказывал неумные мысли. Например, он начал со степенного ряда 1 + x + x² + x³ + x⁴ + …, чья сумма равна 1/(1 – x), положил x = –1 и вывел:

1-1 + 1–1 + 1–1 + … = ¹/₂,

что является бессмыслицей. Степенные ряды не сходятся, если x не расположен строго между –1 и 1, что прояснила теория Вейерштрасса.

И только беспощадная критика, подобная той, что высказал епископ Беркли, в итоге обогатила математику и поставила ее на прочную основу. Благодаря этому сложился принцип: чем сложнее твое построение, тем важнее заручиться для него безукоризненным основанием.

Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Модуль дзета-функции Римана

В наши дни большинство пользователей математики снова пренебрегают ее тонкостями, будучи уверенными в том, что знания, которые они применяют и которые им кажутся разумными, вероятно, имеют строгое обоснование. В этой самоуверенности их укрепили открытия Больцано, Коши и Вейерштрасса. Тем временем профессиональные математики продолжали разрабатывать строгие концепции бесконечности. Даже появилось движение, ратовавшее за возвращение концепции бесконечно малой величины (флюксии), известное как нестандартный анализ, который является совершенно строгим и технически полезным для некоторых других малоподатливых проблем. Здесь удалось избежать логических нестыковок, провозгласив бесконечно малые новым видом чисел, а не условным действительным числом. По духу это близко к тому, как думал Коши. Нестандартный анализ – удел узких специалистов, но, возможно, он станет методом будущего.

Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - читать онлайн книгу. Автор: Йен Стюарт cтр.№ 52

Онлайн книга - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса | Автор книги - Йен Стюарт