Истина и красота. Всемирная история симметрии - читать онлайн книгу. Автор: Йен Стюарт cтр.№ 11

Содержание «Начал» разбивается на две основные категории. Имеются теоремы, говорящие нам, что некое утверждение истинно. И имеются конструкции, говорящие нам, как что-либо можно сделать.

Типичная и заслуженно знаменитая теорема — это Предложение 47 Книги I «Начал», широко известное как теорема Пифагора. Она гласит, что самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике находится в определенной связи с двумя другими. Но без дополнительных усилий или интерпретации она не дает метода для достижения какой-либо цели.

Конструкция, существенная для нашего рассказа, содержится в Предложении 9 из Книги I, где Эвклид решает задачу «бисекции» (деления пополам) углов. Эвклидов метод деления угла пополам прост, но остроумен, с учетом ограниченных возможностей, доступных на той ранней стадии развития. Если задан угол (1), образованный двумя отрезками прямых, поместите циркуль в точку пересечения этих отрезков (2) и проведите окружность, которая пересечет отрезки в двух точках, по одной на каждом (черные точки). Теперь проведите (3) две окружности того же радиуса с центрами в полученных точках. Они пересекутся в двух точках (отмечена только одна из них), после чего через них проводится (4) искомая биссектриса (показана точками).

Повторяя это построение, можно разделить угол на четыре равные части, на восемь, на шестнадцать — число частей удваивается на каждом шаге, так что мы получаем степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и так далее.

Как я уже говорил, в «Началах» основной аспект, имеющий отношение к нашему рассказу, состоит не в том, что там содержится, а в том, чего там нет. Эвклид не дал никаких методов для решения следующих задач.

• Деление угла точно на три равные части (трисекция угла).

• Построение правильного многоугольника с 7 сторонами.

• Построение отрезка, длина которого равна длине окружности заданного радиуса (выпрямление окружности).

• Построение квадрата, площадь которого равна площади круга заданного радиуса (квадратура круга).

• Построение куба, объем которого ровно вдвое больше объема заданного куба (удвоение куба).

Иногда говорится, что сами греки воспринимали эти упущения как недостатки в монументальном труде Эвклида и посвятили много сил их исправлению. Историки математики нашли очень мало свидетельств в поддержку этих утверждений. В действительности греки были в состоянии решить все перечисленные выше задачи, но для этого им приходилось использовать методы, находившиеся за пределами установленных Эвклидом рамок. Все эвклидовы построения выполнялись циркулем и линейкой без делений. Греческие геометры могли бы выполнить трисекцию угла, используя специальные кривые, называемые коническими сечениями; они могли бы квадрировать круг, используя другую специальную кривую, называемую квадратрисой. С другой стороны, они, кажется, не понимали, что если можно выполнить трисекцию угла, то можно построить и правильный семиугольник (да, я имею в виду именно семиугольник; девятиугольник построить несложно, а вот для семиугольника потребуется очень хитрое построение). На самом деле они, похоже, вообще не изучали следствий, вытекающих из трисекции угла. Душа их, по-видимому, не лежала к таким исследованиям.

Позднейшие математики воспринимали то, что было опущено у Эвклида, в ином свете. Вместо поисков новых средств для решения этих задач они озаботились вопросом о том, чего можно достичь, используя ограниченные средства, выбранные Эвклидом, — циркуль и линейку (причем без всякого жульничества с нанесенными на нее делениями: греки знали, что «прием вставки» ^[7] со скользящей линейкой с делениями позволяет эффективно и точно разделить угол на три части; один такой метод был изобретен Архимедом). Нахождение того, что можно сделать, а чего нельзя, а также доказательство этого заняли долгое время. К концу 1800-х годов стало окончательно ясно, что ни одну из приведенных выше задач нельзя решить, используя только циркуль и линейку.

Это был замечательный шаг вперед. Вместо того чтобы доказывать, что какой-то конкретный метод позволяет решить конкретную задачу, математики научились доказывать противоположное, причем в очень сильной форме: никакой метод из такого-то класса не способен решить такую-то задачу. Математики начали постигать внутренние ограничения, присущие их предмету. Здесь особенно зачаровывает дополнительный штрих, состоящий в том, что, даже утверждая наличие подобных ограничений, математики смогли доказать, что это в самом деле настоящие ограничения.

В надежде избежать неправильного понимания я хочу отметить ряд важных аспектов задачи о трисекции угла.

Требуется точное построение. Это очень жесткое условие в рамках идеализированной греческой формулировки геометрии, где линии считаются бесконечно тонкими, а точки — имеющими нулевой размер. Требуется разделить угол на три совершенно равные части. Равные не с точностью во столько-то десятичных знаков, будь то сотня или миллиард, — построение должно иметь бесконечную точность. В том же духе, правда, нам разрешается с бесконечной точностью помещать циркуль в любую точку, которая нам задана или которая возникла в процессе построения; раствор циркуля можно с бесконечной точностью задавать равным расстоянию между любыми двумя такими точками; кроме того, можно проводить прямую линию, проходящую точно через любые две такие точки.

В нашей менее совершенной реальности все не так. Так бесполезна ли геометрия Эвклида в нашем реальном мире? Нет. Например, если вы действуете так, как предписывает Эвклид в Предложении 9, имея реальный циркуль и реальный лист бумаги, то вы получите очень неплохую биссектрису. До появления компьютерной графики чертежники именно так и делили на чертежах угол на две части. Идеализация — не недостаток; она представляет собой основную причину, по которой математика вообще работает. В рамках идеализированной модели можно рассуждать логически, потому что точно известны свойства всех участвующих в ней объектов. Реальный мир с его элементами хаоса не таков.