Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - читать онлайн книгу. Автор: Джон Дербишир cтр.№ 23

Базельская задача подводит нас к дзета-функции — объекту, с которым мы имеем дело в Гипотезе Римана. Но прежде чем мы сможем познакомиться с дзета-функцией, надо вспомнить кое-что из математических основ: степени, корни и логарифмы.

II.

Степени — это прежде всего повторяющееся умножение. Число 12³ — это 12×12×12, где перемножаются три сомножителя, а 12⁵ — это 12×12×12×12×12, где сомножителей пять. Что получится, если умножить 12³ на 12⁵? Это будет (12×12×12)×(12×12×12×12×12), что, конечно, составляет 12⁸. Надо просто сложить степени: 3 + 5 = 8. В этом и состоит первое великое правило действий со степенями.

(Давайте я здесь прямо и скажу, что во всем этом разделе мы будем иметь дело только с положительными значениями буквы x. Возводить в степень нуль — пустая трата времени, а возведение в степень отрицательных чисел приводит к занятным проблемам, о которых мы поговорим позднее.)

Что будет, если разделить 12⁵ на 12³? То есть вычислить (12×12×12×12×12)/(12×12×12). Можно сократить три множителя 12 сверху и снизу, и в результате останется 12×12, т.е. 12². Как видно, это все равно что вычесть степени.

А теперь возведем 12⁵ в куб: (12×12×12×12×12)×(12×12×12×12×12)×(12×12×12×12×12) дает 12¹⁵. На этот раз степени перемножаются.

Таковы три самых важных правила, которые говорят нам, как обращаться со степенями. В дальнейшем мы будем ссылаться на них как на «правила действий со степенями» без дополнительных объяснений. Однако это пока не все правила. Нам потребуется еще несколько, потому что до сих пор у нас были степени, выражаемые положительными целыми числами. А как обстоит дело с отрицательными и дробными степенями? А со степенью нуль?

Начав с последнего, заметим, что если x⁰ вообще что-нибудь будет означать, то хорошо бы добиться согласованности с теми правилами, которые у нас уже есть, потому что они являются прямым выражением здравого смысла. Возьмем во 2-м правиле n равным m. Тогда в правой части, как видно, получится x⁰. А в левой части будет x^m: x^m. Но когда число делится само на себя, получается единица.

2-е правило можно использовать и для того, чтобы придать смысл отрицательным степеням. Разделим 12³ на 12⁵. Согласно 2-му правилу, ответ должен быть равен 12⁻². Но при этом он равен и (12×12×12)/(12×12×12×12×12), что после сокращения трех множителей 12 в числителе и знаменателе даст 1/12².

3-е правило наводит нас на мысль о том, что же должны означать дробные степени. Как можно поступить с величиной x^1/3? Например, возвести ее в куб, тогда по 3-му правилу должно получиться просто x. Значит, x^1/3 есть просто кубический корень из x. (Определение «кубического корня из x»: это число, куб которого равен x). 3-е правило теперь говорит нам, какой смысл имеет всякая дробная степень; x^2/3 — это кубический корень из x, возведенный в квадрат (или, что одно и то же, кубический корень из x²).

Поскольку 12 — это 3×4, получаем, что 12⁵ равно (3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4). Это можно переписать как (3×3×3×3×3)×(4×4×4×4×4). Короче говоря: 12⁵ = 3⁵×4⁵. Такое верно и в общем случае:

А что насчет возведения x в иррациональную степень? Что могло бы означать 12^√2, или 12^π, или 12^e? Здесь мы снова попадаем в царство анализа. Вспомним про ту последовательность из главы 1.vii, которая сходилась к √2. Она выглядела так: ¹/₁, ³/₂, ⁷/₅, ¹⁷/₁₂, ⁴¹/₂₉, ⁹⁹/₇₀, ²³⁹/₁₆₉, ⁵⁷⁷/₄₀₈, ¹³⁹³/₉₈₅, ³³⁶³/₂₃₇₈, … Продолжая эту последовательность достаточно далеко, можно подобраться к √2 сколь угодно близко. А из 6-го правила, которое говорит о значении всякой дробной степени, понятно, что же представляет собой число 12, возведенное в каждую из этих дробных степеней. Разумеется, число 12¹ равно просто 12, а 12^3/2 — это квадратный корень из 12 в кубе; 41,569219381…. Далее, 12^7/5 — это корень пятой степени из 12 в седьмой степени, что равно 32,423040924…. Таким же образом, 12^17/12 равно 33,794038815…, 12^41/29 равно 33,553590738…, 12^99/70 равно 33,594688567… и т.д. Как мы видим, эти дробные степени числа 12 сходятся к некоторому числу — на самом деле к числу 33,588665890…. Поскольку сами дроби при этом сходятся к √2, очень похоже на правду, что 12^√2 = 33,588665890….

Итак, задавшись положительным числом x, можно возводить его вообще в любую степень — положительную, отрицательную, дробную или иррациональную. При этом будут выполняться приведенные выше правила действий со степенями, поскольку мы ввели определения таким образом, чтобы именно это и гарантировать! На рисунке 5.1 показаны графики функций x^a для различных чисел a в интервале от −2 до 8. Отдельно отметим нулевую степень х⁰, представляющую собой горизонтальную прямую на высоте 1 над осью x — то, что математики называют «постоянной функцией» (а медсестры в реанимации называют «остановкой»). Для любого аргумента x значение этой функции равно 1. Стоит еще обратить внимание, как быстро возрастают целочисленные степени x², x³, x⁸, а также — что имеет более прямую связь с главной темой этой книги — как медленно возрастают дробные положительные степени, такие как x^0,5.