Как не ошибаться. Сила математического мышления - читать онлайн книгу. Автор: Джордан Элленберг cтр.№ 38

высота = 100 + 200x.

Однако существует такая вещь, как сила тяжести, которая изгибает траекторию движения ракеты и заставляет ее двигаться по кривой назад, к поверхности земли. Оказывается, это воздействие силы тяжести можно описать уравнением, содержащим квадратичный член:

высота = 100 + 200x – 5x²,

где знак минуса стоит перед квадратичным членом только потому, что сила тяжести толкает ракету вниз, а не вверх.

Существует много вопросов, которые вы можете задать по поводу летящей к вам ракеты, однако самый важный из них звучит просто: когда же она наконец приземлится? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо определить, когда высота местоположения ракеты будет равна нулю, другими словами – найти значение x, при котором уравнение приобретет такой вид:

100 + 200x – 5x² = 0.

Совершенно непонятно, как именно в этом уравнении следовало бы выполнить перестановку, чтобы найти x. Может быть, вам и не понадобится этого делать. Метод последовательного приближения – это мощное оружие. Если в представленную выше формулу подставить x = 10, чтобы увидеть, на какой высоте будет ракета через 10 секунд, получится 1600 метров. Подставьте x = 20 – и получите 2100 метров – значит, ракета все еще летит вверх. При x = 30 вы снова получите 1600 метров, а это значит, что пик уже пройден. При x = 40 ракета снова окажется на высоте 100 метров над поверхностью земли. Можно было бы прибавить еще 10 секунд, но, когда мы настолько близки к столкновению, это наверняка слишком большой промежуток времени. Подставив в формулу x = 41, вы получите −105 метров. Это не означает, что, согласно вашим оценкам, ракета ушла под землю; скорее, это означает, что столкновение уже произошло, поэтому ваша красивая, чистая модель движения ракеты, как говорят в баллистике, больше не работает.

Итак, если 41 секунда – слишком много, как насчет 40,5 секунды? Это значение дает −1,25 метра, чуть меньше нуля. Переведите часы еще немного назад, на 40,4 секунды – и получите 19,2 метра, а значит, столкновение еще не произошло. Как насчет 40,49 секунды? Очень близко, всего 0,8 метра над поверхностью земли. Данный процесс можно продолжать и дальше.

Как видите, применяя метод подбора, осторожно перемещая стрелку часов то вперед, то назад, можно получить настолько близкое значение времени столкновения ракеты с землей, насколько захотите.

Но действительно ли мы «решили» уравнение? Скорее всего, вы не позволите себе ответить утвердительно; ведь даже если вы продолжите корректировать свои догадки по поводу времени столкновения ракеты с поверхностью земли, пока не получите

40,4939015319…

секунды после запуска ракеты, все равно у вас нет самого ответа, а есть только его приближенное значение. Однако на практике нет необходимости определять время столкновения до миллионной доли секунды, не так ли? Пожалуй, вполне довольно было бы сказать «около 40 секунд». Попытавшись получить любой более точный ответ, вы только потратите время зря. Кроме того, по всей вероятности, этот ответ все равно будет неправильным, поскольку наша простая модель движения ракеты не учитывает многие другие факторы, такие как сопротивление воздуха, изменение сопротивления воздуха в зависимости от погоды, вращение самой ракеты и так далее. Воздействие всех факторов может быть незначительным, но их достаточно для того, чтобы удержать вас от попыток определить время встречи ракеты с землей с точностью до микросекунды.

Если вам действительно необходимо точное решение, не беспокойтесь – вам поможет формула корней квадратного уравнения. Возможно, когда-то в прошлом вы уже проходили эту формулу, но вряд ли вы сейчас ее вспомните. Правда, может быть, у вас феноменальная память? Или вам только двенадцать лет? В таком случае вот она: если х – это решение уравнения

c + bx + ax² = 0

где a, b и c – это какие угодно числа, тогда

В случае с ракетой c = 100, b = 200, а a = −5. Следовательно, согласно данной формуле корней квадратного уравнения х равно:

Большинство символов, присутствующих в этой формуле, можно ввести в калькулятор, но есть один забавный символ, выпадающий из общего ряда: символ ±. Создается впечатление, будто знак плюс и знак минус очень любят друг друга, что не так уж далеко от истины. Этот символ говорит: хотя мы и начали свое математическое предложение с утверждения о том, что

х =

в итоге мы все равно окажемся в состоянии неопределенности. Символ ± (подобно пустой фишке в игре Scrabble) можно прочитать и как +, и как −, в зависимости от того, что мы выберем. Каждый сделанный нами выбор позволяет получить значение х, при котором выполняется уравнение 100 + 200x – 5x² = 0. Следовательно, у этого уравнения не одно, а два решения.

Тот факт, что этому уравнению удовлетворяют два значения х, можно определить на глаз, даже если вы давно забыли формулу корней квадратного уравнения. Для этого можно нарисовать график уравнения y = 100 + 200x – 5x², получив красивую перевернутую параболу:

Горизонтальная линия – ось х; на ней расположены те точки на плоскости, ордината которых равна 0. Когда кривая y = 100 + 200x – 5x² пересекается с осью х, должно быть верно как то, что y равно 100 + 200x – 5x², так и то, что y = 0; следовательно, 100 + 200x – 5x² = 0 – в точности то уравнение, которое мы пытаемся решить, только теперь оно представлено в геометрическом виде, а вопрос состоит в пересечении кривой с горизонтальной осью.

Геометрическая интуиция подсказывает: если такая парабола расположена над осью х, она должна пересекать эту ось в двух точках – ни больше, ни меньше. Другими словами, существует два значения х, при которых 100 + 200x – 5x² = 0.

Так какие это значения?

Если мы интерпретируем символ ± как «плюс», то получим

x = 20 + 2√105,

что равно 40,4939015319… – тот же ответ, который мы получили методом последовательного приближения. Но, выбрав знак «минус», мы получим