Как не ошибаться. Сила математического мышления - читать онлайн книгу. Автор: Джордан Элленберг cтр.№ 118

Но вернемся к температуре. В нашей таблице два столбца чисел, каждый можно представить в виде десятимерного вектора. Вот как выглядят эти векторы.

Векторы указывают примерно в одном и том же направлении, а это говорит о том, что два столбца чисел не так уж отличаются друг от друга: как мы уже видели, города с самой низкой температурой в 2011 году остались такими же холодными в 2012 году, и то же самое можно сказать о самых теплых городах.

Это и есть формула Пирсона, представленная на языке геометрии. Корреляцию между этими двумя переменными определяет угол между двумя векторами. Если хотите представить это в тригонометрической форме, корреляция – это косинус угла между векторами. Не важно, помните ли вы, что такое косинус; вам нужно знать только то, что косинус угла равен 1, если угол равен 0 (то есть когда векторы указывают в одном направлении), и −1, если угол равен 180 градусам (векторы указывают в противоположных направлениях). Между двумя переменными имеет место положительная корреляция, когда соответствующие векторы образуют острый угол (то есть угол менее 90 градусов), и отрицательная корреляция в случае тупого угла (когда угол между векторами больше 90 градусов). Это имеет смысл: векторы, расположенные под острым углом друг к другу, в каком-то смысле указывают в одном направлении, тогда как векторы, которые образуют тупой угол, как будто преследуют разные цели.

Когда угол между векторами является прямым, то есть не острым и не тупым, корреляция между двумя переменными равна нулю, другими словами эти переменные не связаны друг с другом, во всяком случае с точки зрения, корреляции. В геометрии пара векторов, образующих прямой угол, называются перпендикулярными, или ортогональными. Само собой разумеется, среди математиков и других приверженцев тригонометрии принято использовать слово «ортогональный» для обозначения того, что не связано с рассматриваемым вопросом: «Вы можете предположить, что математические способности связаны с огромной популярностью, но, судя по моему опыту, эти два качества ортогональны». Такое употребление слова постепенно переходит из жаргона гиков в общеупотребительный язык. Посмотрите хотя бы, что произошло во время недавних прений сторон в Верховном суде США ^{229}.

Я не против того, чтобы прижилось такое употребление слова ортогональный. Математические термины уже давно используются в повседневном языке. Выражение «наименьший общий знаменатель» почти утратило свой первоначальный математический смысл, я уже не говорю о слове экспоненциально ^[275].

Использование тригонометрии применительно к векторам высокой размерности для представления корреляции в количественной форме – это, мягко говоря, не то, что имели в виду создатели косинуса. Никейский астроном Гиппарх, составивший первые тригонометрические таблицы во II столетии до нашей эры, пытался рассчитать промежутки времени между затмениями. Векторы, с которыми он имел дело, описывали небесные тела и были однозначно трехмерными. Однако математический инструмент, подходящий для одной цели, как правило, оказывается полезным снова и снова.

Геометрическая интерпретация корреляции проливает свет на некоторые аспекты статистики, которые в противном случае остались бы не совсем понятными. Возьмем в качестве примера богатого представителя элиты с либеральными взглядами. В течение какого-то времени этот человек с несколько сомнительной репутацией был известным персонажем в политических кругах. Пожалуй, самым самоотверженным летописцем этой социальной группы является публицист Дэвид Брукс, написавший целую книгу о социальной группе, которую он назвал «богемная буржуазия», или «бобо». В 2001 году, размышляя о различиях между богатым пригородным округом Монтгомери (штат Мэриленд, моя родина!) и округом Франклин (штат Пенсильвания) с преобладанием среднего класса, Брукс выдвинул предположение, что старый принцип политической стратификации по экономическим классам, согласно которому «Великая старая партия» отстаивает интересы денежных мешков, а демократы выступают за рабочего человека, полностью устарел.

Прежде всего следует отметить, что «повсюду» – это преувеличение. Самый богатый округ штата Висконсин – округ Уокешо, охватывающий фешенебельные пригородные районы к западу от Милуоки. Буш победил там Гора с отрывом 63 % против 31 %, тогда как по всему штату небольшой перевес был у Гора.

Тем не менее Брукс обращает внимание на реальный феномен – тот самый, который мы ясно видели на диаграмме разброса на одной из предыдущих страниц. На современном электоральном ландшафте США богатые штаты голосуют за демократов чаще, чем бедные. Миссисипи и Оклахома – это штаты с высокой поддержкой Республиканской партии, тогда как в штатах Нью-Йорк и Калифорния «Великая старая партия» даже не пытается бороться за победу. Другими словами, существует положительная корреляция между проживанием в богатом штате и голосованием за демократов.