Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - читать онлайн книгу. Автор: Марио Ливио cтр.№ 71

В пьесе «Тамерлан великий», где идет речь о герое-злодее маккиавеллиевского толка, который одновременно может быть и нежной душой, и жестоким убийцей, великий английский драматург Кристофер Марло (1564–1593) признает страсть человека к познанию Вселенной:

Золотое сечение есть продукт геометрии, которую изобрели люди. Однако люди не представляли себе, в какую волшебную страну заведет их это изобретение. Если бы мы не изобрели геометрию, то, вероятно, вообще не знали бы ничего о золотом сечении. Однако – кто знает? – возможно, мы получили бы его в результате работы короткой компьютерной программы.

Мы хотим доказать, что для любых целых чисел p и q, таких, что p > q, три числа: p² – q²; 2pq; p² + q² формируют пифагорову тройку. Иначе говоря, нам надо доказать, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего.

Для этого мы обратимся к общим формулам сокращенного умножения, справедливым для любых a и b:

(a + b)² = (a + b) × (a + b)= a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = (a – b) × (a – b)= a² – ab – ba + b² = a² – 2ab – b².

На основании этих формул квадрат первого числа равен

(p² – q²)² = p⁴ – 2p²q² + q⁴.

Сумма первых двух квадратов равна

p⁴ – 2p²q² + q⁴ + 4p²q² = p⁴ + 2p²q² + q⁴.

Квадрат третьего числа равен

(p² + q²)² = p⁴ + 2p²q² + q⁴.

Итак, мы видим, что квадрат третьего числа равен сумме квадратов первых двух чисел независимо от значений p и q.

Мы хотим доказать, что диагональ и сторона правильного пятиугольника несоизмеримы, то есть у них нет общей меры.

Общий принцип доказательства по методу reductio ad absurdum приведен в конце главы 2.

Обозначим сторону правильного пятиугольника ABCDE как s₁, а диагональ – как d₁. Из свойств равнобедренных треугольников легко вывести, что AB = AH и HC = HJ. Теперь обозначим сторону меньшего правильного пятиугольника FGHIJ как s₂ и его диагональ как d₂. Очевидно, что

AC= AH + HC= AB + HJ.

Следовательно,

d₁ = s₁ + d₂ или d₁ – s₁ = d₂.

Если у d₁ и s₁есть какая-либо общая мера, значит, и d₁, и s₁представляют собой целое произведение этой общей меры. Следовательно, существует также общая мера d₁ – s₁, то есть d₂. Подобным же образом равенства

AG= HC= HJ

AH= AB

и

AH= AG+ GH

AB= HJ+ GH

дают нам

s₁ = d₂ + s₂

или

s₁ – d₂ = s₂.

Поскольку на основании нашего предположения общая мера для s₁ и d₁ представляет собой также общую меру для d₂, последнее равенство доказывает, что она же еще и общая мера для s₂. Поэтому мы обнаруживаем, что та единица, которая измеряет s₁ и d₁, измеряет также s₂ and d₂. Продолжать этот процесс можно до бесконечности, рассматривая правильные пятиугольники все меньшего и меньшего размера. Тогда мы получим, что та же единица, которая служит общей мерой стороны и диагонали первого правильного пятиугольника, служит общей мерой и для всех других пятиугольников, сколь бы крошечными они ни становились. Поскольку очевидно, что так быть не может, следовательно, наше первоначальное предположение, что у стороны и диагонали правильного пятиугольника есть общая мера, ложно, что и доказывает, что s₁ и d₁ несоизмеримы.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к основанию. У треугольника TBC основание BC равно 2а, а высота ТА равна с. Следовательно, площадь треугольника равна с × а. Мы хотим показать, что если квадрат высоты пирамиды h² равен площади ее треугольной стороны s × a, то s/a равно золотому сечению.

Дано, что

h² = s× a.

Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику TOA, получаем

s² = h² + a².

Теперь подставим значение h² из первого равенства и получим

s² = s× a + a².

Разделим обе части на a² и получим