Большое космическое путешествие - читать онлайн книгу. Автор: Нил Деграсс Тайсон, Майкл Стросс, Дж. Ричард Готт cтр.№ 130

Страница

Следовательно, временной интервал между прибытием двух гребней волны к правой стене равен Δt_П = λ_П/c = (с – v) Δt´/c, а наблюдаемая частота фотона, летящего вправо, составит ν_П = 1/Δt_П = c/[(с – v) Δt´] = ν₀c/(с – v). Теперь при v << c величина c/(с – v) примерно равна 1 + (v/c), здесь в v/c остаются лишь члены первого порядка.(Например, если v/c = 0,00001, c/(с – v) = 1/0,99999 = 1,00001 с высокой точностью – можете проверить на калькуляторе.) Следовательно, наблюдатель, сидящий у правой стены лаборатории, видит, что летящий к нему фотон врезается в стену, имея частоту ν_П = ν0[1 + (v/c)].Он наблюдает более высокую частоту, чем была у фотона в момент излучения, и эта частота больше исходной в [1 + (v/c)] раз в силу доплеровского эффекта, где v – скорость частицы. Это стандартная формула доплеровского эффекта для света, смещенного в синюю часть спектра; этот свет попадает в правую стену лаборатории и был излучен частицей, которая на низкой скорости v летит к стене.

Попадая в правую стену, летевший вправо фотон сообщает ей направленный вправо импульс hν_П/c = hν₀[1 + (v/c)]/c.

Также частица излучает фотон, летящий влево. В итоге он врежется в левую стену. Наблюдатель, сидящий у левой стены лаборатории, видит, что этот фотон, летящий к нему, имеет частоту ν_Л = ν₀[1 – (v/c)].Знак скорости в формуле меняется на обратный, поскольку наблюдатель у левой стены видит, как частица удаляется от него со скоростью v.Частота волны с его точки зрения ниже, чем в момент излучения, это объясняется доплеровским эффектом. Следовательно, суммарный направленный вправо импульс, который лаборатория получит от двух фотонов, равен импульсу, который был передан летящим вправо фотоном hν₀[1 + (v/c)]/с минус импульс, сообщенный фотоном, летящим влево, hν₀[1 – (v/c)]/с. Имеем формулу 2hν₀(v/c2) для общего импульса вправо, который два фотона сообщают лаборатории. Лаборатория приобретает такой общий импульс, поскольку более высокочастотный (голубой) фотон, летящий вправо, ударяет стену сильнее, и этот удар не компенсируется более слабым толчком, который сообщает летящий влево более низкочастотный (красный) фотон. Итак, 2hν₀ = ΔE – это всего лишь энергия, испускаемая частицей в виде двух фотонов. Направленный вправо импульс, полученный лабораторией, равен ΔE v/c².Множитель v/c² получается из множителя v/c, обусловленного доплеровским смещением, и множителя 1/c в силу соотношения импульса и энергии, которую несут фотоны.

По закону сохранения импульса величина импульса, приобретенного лабораторией, должна быть равна величине импульса, потерянного частицей. Импульс частицы равен mv (поскольку v << c, формула Ньютона для импульса в данном случае точна). Скорость частицы не изменяется, и поэтому потерять часть импульса mv частица может лишь одним способом – потеряв часть массы. Уменьшение ее импульса составляет vΔm, где Δm – масса, утраченная частицей.

Приравняв ΔE v/c² = vΔm, находим, что ΔE/c² = Δm. Невысокая скорость v нашей частицы сокращается! Поскольку v << c, ответ не зависит от v. Умножив обе части формулы на c², получим ΔE= Δmc². Частица теряет массу. Количество утраченной массы Δm, умноженное на c², дает количество энергии, унесенной фотонами ΔE. Убираем знаки «дельта» (Δ) с обеих сторон тождества и получаем E= mc². Энергия, отдаваемая двумя фотонами, равна произведению массы, которую утрачивает частица, на скорость света в квадрате c². Теряя массу, частица испускает некоторое количество энергии, определяемое по формуле E = mc². Во множестве книг объясняется важность этой формулы и рассказывается, как она устроена, но там не пишут, как выводится эта формула. Теперь мы вам об этом рассказали.

На современных шестидюймовых ^[48] жестких дисках можно хранить примерно по 5 терабайт, или 4 × 10¹³ бит, информации. Сколько бит информации, в принципе, возможно записать на шестидюймовый жесткий диск? Во-первых, поскольку это мысленный эксперимент, вообразим, что наш жесткий диск сферический – так мы сможем вложить в этот объем максимум информации. Наш жесткий диск получится размером примерно с грейпфрут, его радиус составит 7,5 см. Бекенштейн показал, что черная дыра обладает конечной энтропией, пропорциональной площади ее горизонта событий. В итоге оказалось, что энтропия горизонта черной дыры (S) в точности равна 1/4 площади горизонта событий, если измерить эту площадь в планковских единицах в квадрате (в конечном итоге точное значение вычислил Хокинг). В планковских единицах площадь поверхности черной дыры радиусом 7,5 см составляет 4π(7,5 см/1,6 × 10^–33 см)² = 2,76 × 10⁶⁸. Четверть от этого значения составит энтропия S = 6,9 × 10⁶⁷. Конкретное значение энтропии (возрастания неупорядоченности) соответствует конкретной мере уничтожения информации. Количество битов этой информации, соответствующее энтропии S, составляет S/ln 2. Натуральный логарифм от 2 (обозначенный в этой формуле «ln 2») равен 0,69. Здесь присутствует двойка, так как один бит информации – это один ответ на вопрос «да/нет», то есть вопрос, предполагающий два варианта ответа. (Например, игра «Да или нет» с 20 вопросами дает 20 битов информации.) Если я скажу вам, что задумал число от 1 до 2²⁰(около миллиона), то, пытаясь его угадать, вы первым делом должны спросить: «Оно во второй половине этого интервала?» Узнав, в какой оно части, продолжайте делить этот диапазон пополам, и через 20 вопросов узнаете, какое число я загадал. Следовательно, возникновение черной дыры радиусом 7,5 см – это повышение неупорядоченности во Вселенной, равное уничтожению 10⁶⁸ бит информации. Есть ₂10⁶⁸ различных способов создать такую черную дыру, взяв для нее 10⁶⁸ бит информации, и, как только черная дыра сформируется, вся эта информация о ее составе будет потеряна. Если на вашем шестидюймовом диске записано более 1068 битов информации, и вы станете подвергать его гравитационному коллапсу, сжимая, пока он не превратится в микроскопическую черную дыру, то вся эта информация будет потеряна. Впрочем, вы не сможете создать микроскопическую черную дыру, поскольку при черная дыра, при образовании которой теряется более 10⁶⁸ битов информации, должна иметь диаметр больше 6 дюймов. Противоречие. Что же произойдет на самом деле, если мы попытаемся впихнуть все больше и больше информации на жесткий диск с фиксированным радиусом 7,5 см? Его масса будет расти и расти, пока не наступит момент, когда на нем окажется 10⁶⁸ бит информации, а масса диска в 8,4 раза превысит массу Земли и он сколлапсирует, превратившись в черную дыру. Следовательно, 10⁶⁸ бит информации (1,16 × 10⁵⁸гигабайт) – предельное количество информации, которое можно сохранить на шестидюймовом жестком диске.

Страница