Математическое мышление - читать онлайн книгу. Автор: Джо Боулер cтр.№ 27

Cтраница 27

3. Можете ли вы поставить задачу до объяснения метода ее решения?

Когда мы ставим задачи, требующие определенного метода решения, до объяснения самого метода, мы даем им прекрасную возможность для обучения и использования интуиции.

Из предыдущих примеров таковы задача на определение максимальной площади, которую можно обнести забором, а также задача на определение объема лимона. Но этот структурный элемент можно использовать в любой другой области математики — в частности, при объяснении любых стандартных методов или формул (например, площадь фигур и число π), а также таких статистических концепций, как среднее арифметическое, мода, амплитуда и стандартное отклонение.

Вместо объяснений предложите ученикам поразмышлять над ситуацией, в которой этот метод может пригодиться (пример 5.8).

После того как ученики попытались найти свои способы определения средней величины и обсудили их в группах и со всем классом, им можно объяснить формальные методы определения среднего арифметического, моды и амплитуды.

4. Можно ли включить в задачу визуальную составляющую?

Визуальное представление очень заметно влияет на учеников, обеспечивая новый уровень понимания, как можно видеть в случае задачи с растущими фигурами. При этом можно использовать не только рисунки, но и физические объекты, такие как кубики или алгебраические карточки. В детстве я часто играла со счетными палочками Кюизенера, упорядочивая их и исследуя математические закономерности. В ходе онлайн-курса, призванного показать слушателям важные математические стратегии, я объясняю, как представить в графическом виде любую математическую задачу или концепцию (см. https://class.stanford.edu/courses/Education/EDUC115-S/Spring2014/about). Графическое представление — мощный инструмент для математиков и людей, которые занимаются решением задач (большинство из них могут нарисовать любую задачу). Когда на уроке математики ученики топчутся на месте, я часто предлагаю им нарисовать задачу.

В школе Рейлсайд (очень успешной школе, работу которой я изучала) ученикам предложили отображать связи с помощью цветового кодирования. Например, на уроках алгебры ученики должны описывать функциональные соотношения разными способами: с помощью выражения или рисунка, в вербальной форме или в виде графика.

Таких форм представления требуют во многих школах. Нестандартный подход Рейлсайд состоял в том, что там предложили ученикам отмечать соотношения цветом — например, показывать ось x в одном и том же цвете в выражении, на графике и в диаграмме. В главе 7, где приведено более подробное описание подхода школы Рейлсайд, представлен пример задач с элементами цветового кодирования. В других областях (например, предлагая ученикам определить конгруэнтные, вертикальные и смежные углы) также можно попросить раскрасить и записать как можно больше соотношений, выделив соотношения цветом (пример 5.9 и рис. 5.18). Другие примеры цветового кодирования приведены в главе 9.

Параллельные прямые и секущая (решение примера 5.9)

1. Выделите конгруэнтные углы с помощью цветового кодирования.

2. Определите вертикальные и смежные углы.

3. Воспользовавшись теми же цветами, что и на рисунке, запишите как можно больше соотношений

Рис. 5.18. Выделение углов методом цветового кодирования

5. Можете ли вы сформулировать задачу так, чтобы она относилась к категории «низкий пол, высокий потолок»?

Все представленные выше задачи относились к категории «низкий пол, высокий потолок». Благодаря высокой степени свободы они доступны для широкого круга учеников, которые могут перейти на более высокий уровень.

Один из способов сделать «пол» ниже сводится к тому, чтобы всегда спрашивать учеников, как они представляют себе задачу. Этот замечательный вопрос заслуживает внимания и по другим причинам.

Превосходная стратегия, позволяющая повысить «потолок» задачи, состоит в том, чтобы предложить ученикам, которые уже нашли ответ на вопрос, написать новый, аналогичный первому, но более сложный. Во время обучения смешанной группы учеников в летней школе мы часто использовали эту стратегию и получали впечатляющие результаты. Например, когда мальчик Алонсо закончил решать задачу с лестницей, в которой ученики должны были поразмышлять над ростом закономерности и шагом n (пример 5.10), он задал более трудный вопрос: как будет расти лестница в четырех направлениях и сколько кубиков будет на n-м шаге? (рис. 5.19.)